信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.72

习题 3.72

逐题解析
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题面提要

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【芝麻研行习题 3.72】

已知系统如图所示，信号 x(t)x(t) 的频谱为 X(jω)X(j\omega)，周期矩形脉冲信号 p(t)p(t) 如图所示，其中

h(t)=sin⁡2πtth(t)=\frac{\sin 2\pi t}{t}\text{}

系统连接关系为：x(t)x(t) 先通过冲激响应为 h(t)h(t) 的系统，输出为 yA(t)y_A(t)；yA(t)y_A(t) 再与 p(t)p(t) 相乘，输出为 yB(t)y_B(t)。

频谱 X(jω)X(j\omega) 为三角形：

X(jω)={1−∣ω∣3π,∣ω∣≤3π,0,∣ω∣>3π.X(j\omega)= \begin{cases} 1-\frac{|\omega|}{3\pi},& |\omega|\le 3\pi,\\ 0,& |\omega|>3\pi. \end{cases}

周期矩形脉冲信号 p(t)p(t) 的幅度为 11，周期为 TT。在每个周期内，以 nTnT 为中心的矩形脉冲从 nT−T1nT-T_1 延续至 nT+T1nT+T_1，即

p(t)=1,nT−T1≤t≤nT+T1,n∈Z,p(t)=1,\quad nT-T_1\le t\le nT+T_1,\quad n\in\mathbb{Z},

其余时刻 p(t)=0p(t)=0。

(1) 画出图中信号 yA(t)y_A(t)、yB(t)y_B(t) 的频谱图（假设频谱不交叠）。

(2) 由信号 yB(t)y_B(t) 完全重建 yA(t)y_A(t)，信号 p(t)p(t) 中的 TT 应如何选取？

X(jω)Triangular spectrum X(jω)=1-|ω|/(3π) for |ω|≤3π, and 0 otherwise.
Triangular spectrum X(jω)=1-|ω|/(3π) for |ω|≤3π, and 0 otherwise.-3π13π
X(jω)
p(t)Periodic rectangular pulse train. For every integer n, p(t)=1 on nT-T₁≤t≤nT+T₁ and p(t)=0 otherwise. Horizontal coordinates below are normalized by T; let r=T₁/T, where 0<r<1/2.
Periodic rectangular pulse train. For every integer n, p(t)=1 on nT-T₁≤t≤nT+T₁ and p(t)=0 otherwise. Horizontal coordinates below are normalized by T; let r=T₁/T, where 0<r<1/2.-T₁T₁中心 nT-TT
p(t), r=0.3 schematicp(t), center pulsep(t), right pulse

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解析

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