信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.73

习题 3.73

逐题解析
逐题解析

题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 123 页已核对

已知图（a）中的三角形频谱 X(jω)X(j\omega) 的傅里叶逆变换为

x(t)=π8Sa2(π4t).x(t)=\frac{\pi}{8}Sa^2\left(\frac{\pi}{4}t\right).

图（a）中，X(jω)X(j\omega) 为三角形频谱，其顶点为

(−π2,0),(0,π2),(π2,0),\left(-\frac{\pi}{2},0\right),\quad \left(0,\frac{\pi}{2}\right),\quad \left(\frac{\pi}{2},0\right),

且在区间 [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] 外为零。

若以 X(jω)X(j\omega) 构成图（b）所示的周期频谱 Y(jω)Y(j\omega)，求 Y(jω)Y(j\omega) 的逆变换式 y(t)y(t)。

图（b）中，Y(jω)Y(j\omega) 由相邻三角形连续构成：对任意整数 kk，在 ω=kπ\omega=k\pi 处的峰值为

Y(jkπ)=(−1)kπ2,Y(jk\pi)=(-1)^k\frac{\pi}{2},

并在

ω=(k−12)π及ω=(k+12)π\omega=\left(k-\frac{1}{2}\right)\pi \quad\text{及}\quad \omega=\left(k+\frac{1}{2}\right)\pi

处取零；各零点与峰值之间按直线连接。因此，Y(jω)Y(j\omega) 以 2π2\pi 为周期，且满足 Y(j(ω+π))=−Y(jω)Y(j(\omega+\pi))=-Y(j\omega)。

图 (a) X(jω)三角形频谱 X(jω)，在 ω=-π/2 和 ω=π/2 处为零，在 ω=0 处峰值为 π/2。
三角形频谱 X(jω)，在 ω=-π/2 和 ω=π/2 处为零，在 ω=0 处峰值为 π/2。
X(jω)
图 (b) Y(jω)周期三角形频谱 Y(jω)，周期为 2π；峰值在 ω=2kπ 处交替为正负，零点位于相邻峰值中点。
周期三角形频谱 Y(jω)，周期为 2π；峰值在 ω=2kπ 处交替为正负，零点位于相邻峰值中点。
Y(jω)

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

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