信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.85

习题 3.85

逐题解析
逐题解析

题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 135 页已核对

已知信号

x(t)=sin⁡(t2)[4sin⁡(32t)−2sin⁡(t2)]πt2.x(t)=\frac{\sin\left(\frac{t}{2}\right)\left[4\sin\left(\frac{3}{2}t\right)-2\sin\left(\frac{t}{2}\right)\right]}{\pi t^2}.

(1) 画出 x(t)x(t) 的频谱 X(jω)X(j\omega)；

(2) 计算

∫−∞+∞x(t)ejtdt\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{jt}\mathrm{d}t

和

∫−∞+∞∣x(t)∣2dt;\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2\mathrm{d}t\text{;}

(3) 若将 x(t)x(t) 以 2π2\pi 为周期进行周期延拓得到信号 x~(t)\tilde{x}(t)，请画出 x~(t)\tilde{x}(t) 的波形；

(4) 若

xs(t)=x(t)∑n=−∞+∞δ(t−nT),x_s(t)=x(t)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT)\text{,}

求 xs(t)x_s(t) 中频谱不混叠的最低采样频率 fsf_s（单位 HzHz），并且画出以 fsf_s 和 34fs\frac{3}{4}f_s 分别进行采样所得采样信号 xs(t)x_s(t) 的频谱。

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

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