信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.88

习题 3.88

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 138 页已核对

【芝麻研行习题 3.88】

如下图 (a) 所示 LTI 系统，其频率响应 H(jω)H(j\omega) 如图 (b) 所示，若系统的激励

f(t)=∑n=−∞∞12ejnπ2ejnω0tf(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}e^{j n\frac{\pi}{2}}e^{j n\omega_0t}

其中 ω0=3rad/s\omega_0=3\mathrm{rad}/\mathrm{s}，求该系统的响应 y(t)y(t)。

图 (a)：输入 f(t)f(t) 进入一个标注为“LTI 系统”的系统模块，输出为 y(t)y(t)。

图 (b)：频率响应为实值三角形函数。在 ω=−4\omega=-4 与 ω=4\omega=4 处，H(jω)=0H(j\omega)=0；在 ω=0\omega=0 处，H(jω)=2H(j\omega)=2；在区间 [−4,0][-4,0] 与 [0,4][0,4] 上以直线连接上述三点，区间外为零。即

H(jω)={ω+42,−4≤ω≤0,4−ω2,0≤ω≤4,0,∣ω∣>4.H(j\omega)= \begin{cases} \frac{\omega+4}{2},&-4\le\omega\le0,\\ \frac{4-\omega}{2},&0\le\omega\le4,\\ 0,&|\omega|>4. \end{cases}
H(jω)Real-valued triangular frequency response.
Real-valued triangular frequency response.
H(jω)

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

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