信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.94

习题 3.94

逐题解析
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题面提要

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第九十四题题目

【芝麻研行习题 3.94】

如图所示周期三角脉冲 x(t)x(t)。

图中 x(t)x(t) 为周期三角波，周期为 44，且在一个周期内满足：x(0)=0x(0)=0，x(2)=1x(2)=1，x(4)=0x(4)=0；在 [−4,0][-4,0] 内，x(−4)=0x(-4)=0，x(−2)=1x(-2)=1，x(0)=0x(0)=0。该波形以周期 44 延拓，且 x(t)≥0x(t)\geq 0。

图示频率响应 H(jω)H(j\omega) 为分段常数矩形频带：

  • 当 −ω3≤ω≤−ω2-\omega_3\leq\omega\leq-\omega_2 时，H(jω)=A1H(j\omega)=A_1；
  • 当 −ω1≤ω≤ω1-\omega_1\leq\omega\leq\omega_1 时，H(jω)=A2H(j\omega)=A_2；
  • 当 ω2≤ω≤ω3\omega_2\leq\omega\leq\omega_3 时，H(jω)=A3H(j\omega)=A_3；
  • 图示的其余频率范围内，H(jω)=0H(j\omega)=0。

其中频率轴上的标注依次为 −ω3-\omega_3、−ω2-\omega_2、−ω1-\omega_1、ω1\omega_1、ω2\omega_2、ω3\omega_3，矩形高度从左至右分别标为 A1A_1、A2A_2、A3A_3。

(1) 求 x(t)x(t) 的傅里叶级数系数 aka_k（指数形式）；

(2) 求 x(t)x(t) 的傅里叶变换 X(jω)X(j\omega)；

(3) 已知 x(t)x(t) 经过频率响应为 H(jω)H(j\omega)（如图所示）的连续时间 LTILTI 系统后，输出为

y(t)=1−cos⁡(3π2t)y(t)=1-\cos\left(\frac{3\pi}{2}t\right)\text{}

试确定 A1,A2,A3,ω1,ω2,ω3A_1,A_2,A_3,\omega_1,\omega_2,\omega_3 的值。

x(t)Periodic triangular pulse with period 4; peaks are 1 at t=..., -2, 2, ... and zeros at t=..., -4, 0, 4, ....
Periodic triangular pulse with period 4; peaks are 1 at t=..., -2, 2, ... and zeros at t=..., -4, 0, 4, ....
x(t)x=1
H(jω)Three rectangular passbands. The horizontal positions encode the ordered symbolic edge frequencies shown in the prompt.
Three rectangular passbands. The horizontal positions encode the ordered symbolic edge frequencies shown in the prompt.A₁A₂A₃
A₁ bandA₂ bandA₃ band

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