信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.102

习题 3.102

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 152 页已核对

【芝麻研行习题 3.102】☆ ☆ ☆

一个称为低通微分器的连续时间滤波器频率响应如图 a 所示，试对以下每个输入信号 x(t)x(t)，求滤波器的输出信号 y(t)y(t)。

图 a 给出的频率响应为：

∣H(jω)∣={∣ω∣3π,∣ω∣≤3π,0,∣ω∣>3π,|H(j\omega)|= \begin{cases} \dfrac{|\omega|}{3\pi},&|\omega|\le 3\pi,\\ 0,&|\omega|>3\pi, \end{cases}

其相位为：

φ(jω)={π2,0<ω≤3π,−π2,−3π≤ω<0.\varphi(j\omega)= \begin{cases} \dfrac{\pi}{2},&0<\omega\le 3\pi,\\ -\dfrac{\pi}{2},&-3\pi\le \omega<0. \end{cases}

(a)

(1) x(t)=cos⁡(2πt)x(t)=\cos(2\pi t)。

(2) 如图 b 所示，x(t)x(t) 是经过半波整流后的正弦信号，即

x(t)={sin⁡(2πt),m≤t≤m+12,0,m−12≤t≤m,x(t)=\begin{cases} \sin(2\pi t),&m\le t\le m+\dfrac{1}{2},\\ 0,&m-\dfrac{1}{2}\le t\le m, \end{cases}

mm 为任意整数。

图 b 表示上述以 11 为周期的半波整流波形：在每个区间 [m,m+12][m,m+\dfrac12] 内为正半周正弦波，在每个区间 [m−12,m][m-\dfrac12,m] 内为零；横轴标注有 −1,−12,1,32-1,-\dfrac12,1,\dfrac32，纵轴为 x(t)x(t)。

(b)

|H(jω)|Low-pass differentiator magnitude response.
Low-pass differentiator magnitude response.
zero responseleft edgepassband magnituderight edgezero response
φ(jω)Low-pass differentiator phase response.
Low-pass differentiator phase response.
negative-frequency phasephase jump at zeropositive-frequency phase
x(t)Periodic half-wave rectified sine signal with period 1.
Periodic half-wave rectified sine signal with period 1.
zero intervalspositive half-cyclezero intervalpositive half-cyclezero intervalpositive half-cyclezero interval

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

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