信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.103

习题 3.103

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 153 页已核对

【芝麻研行习题 3.103】

已知一个 LTI 系统的冲激响应

h(t)=sin⁡πtπt,h(t)=\frac{\sin \pi t}{\pi t},

对下列每一个输入信号 ei(t)e_i(t)，求其输出 ri(t)r_i(t)：

(1) e1(t)e_1(t) 是如图所示的对称方波。图中方波的幅度为 22，周期为 11；每个脉冲以整数时刻 nn 为中心，在区间

n−14<t<n+14,n∈Z,n-\frac{1}{4}<t<n+\frac{1}{4},\qquad n\in\mathbb{Z},

内取值为 22，其余时刻取值为 00。即

e1(t)=2∑n∈Z1(n−14, n+14)(t).e_1(t)=2\sum_{n\in\mathbb{Z}}\mathbf{1}_{(n-\frac14,\,n+\frac14)}(t).

图中标出了中心脉冲的两个边沿 t=−14t=-\frac14、t=14t=\frac14，以及相邻脉冲中心 t=−1t=-1、t=1t=1。

(2)

e2(t)=e1(t)cos⁡52πt;e_2(t)=e_1(t)\cos \frac{5}{2}\pi t;

(3) e3(t)e_3(t) 是一个实信号，其频率响应对正频率有恒定相位 π2\frac{\pi}{2}，其模在 ω>0\omega>0 时如图所示。图中 ∣E3(jω)∣|E_3(j\omega)| 在 ω=0,2π,4π\omega=0,2\pi,4\pi 处为 00，在 ω=π,3π\omega=\pi,3\pi 处为 π\pi，并按该三角波形继续向右延拓。等价地，对任意 k=0,1,2,…k=0,1,2,\ldots，当 2kπ≤ω≤(2k+2)π2k\pi\le\omega\le(2k+2)\pi 时，

∣E3(jω)∣=π−∣ω−(2k+1)π∣,|E_3(j\omega)|=\pi-\left|\omega-(2k+1)\pi\right|,

且

arg⁡E3(jω)=π2,ω>0.\arg E_3(j\omega)=\frac{\pi}{2},\qquad \omega>0.
e1(t)Symmetric periodic rectangular wave with amplitude 2, period 1, and pulse width 1/2.
Symmetric periodic rectangular wave with amplitude 2, period 1, and pulse width 1/2.......
pulse at t=-1pulse at t=0pulse at t=1
|E3(jω)| for ω > 0Magnitude spectrum: a triangular waveform with zeros at even multiples of pi and peaks of pi at odd multiples of pi; it continues to the right. The phase is pi/2 for positive frequency.
Magnitude spectrum: a triangular waveform with zeros at even multiples of pi and peaks of pi at odd multiples of pi; it continues to the right. The phase is pi/2 for positive frequency....
magnitude spectrumpeak levelpeak guidespeak guides

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