信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.104

习题 3.104

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 154 页已核对

在图 11 所示的连续时间系统中，

h1(t)=δ(t)−sin⁡(4πt)πt,h2(t)=−jπt.h_1(t)=\delta(t)-\frac{\sin(4\pi t)}{\pi t},\qquad h_2(t)=-\frac{j}{\pi t}.

输入信号 x(t)x(t) 的频谱 X(jω)X(j\omega) 如图 22 所示，请写出子系统 h2(t)h_2(t) 的频率响应 H2(jω)H_2(j\omega)，分别画出信号 y1(t)y_1(t)、y2(t)y_2(t)、y3(t)y_3(t)、y4(t)y_4(t)、y5(t)y_5(t) 的频谱。

图 11 所示系统可等价描述如下：

  1. x(t)x(t) 与 cos⁡(4πt)\cos(4\pi t) 相乘，输出为 y1(t)y_1(t)。
  2. y1(t)y_1(t) 通过冲激响应为 h1(t)h_1(t) 的子系统，输出为 y2(t)y_2(t)。
  3. y2(t)y_2(t) 分为两路：一路直接送入加法器；另一路通过冲激响应为 h2(t)h_2(t) 的子系统，输出为 y3(t)y_3(t)，再送入该加法器。加法器两输入端均为正号，输出为 y4(t)y_4(t)。
  4. y4(t)y_4(t) 与
p(t)=∑k=−∞∞δ(t−k)p(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-k)

相乘，输出为 y5(t)y_5(t)。

图 22 中的频谱为

X(jω)={1+ωπ,−π≤ω≤0,1,0≤ω≤π,0,其他.X(j\omega)= \begin{cases} 1+\dfrac{\omega}{\pi},&-\pi\leq\omega\leq 0,\\ 1,&0\leq\omega\leq\pi,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}
Input Spectrum X(jω)Input spectrum X(jω), with ω measured in radians per second.
Input spectrum X(jω), with ω measured in radians per second.
X(jω)

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解析

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