信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.106

习题 3.106

逐题解析
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题面提要

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第 106 题题目

【芝麻研行习题 3.106】

考虑一个单位脉冲响应为 h(t)h(t) 的因果系统，假设 h(t)h(t) 仅在 t>0t>0 区间不等于 00，那么其系统频率响应 H(jω)H(j\omega) 将满足“实部自满足”性质，即 H(jω)H(j\omega) 可以完全由其实部 Hr(jω)H_r(j\omega) 来表征！亦即，因 h(t)h(t) 为实数，其偶部 he(t)h_e(t) 的傅里叶变换为 H(jω)H(j\omega) 的实部 Hr(jω)H_r(j\omega)。利用该性质，求解如下问题：

(1) 已知满足“实部自满足”条件的一个 h(t)h(t)，具有傅里叶变换实部

Hr(jω)=cos⁡(ω),H_r(j\omega)=\cos(\omega)\text{,}

求出 h(t)h(t)。

(2) 已知 Hilbert 变换为

y(t)=1π∫−∞+∞x(τ)t−τ dτy(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}\,d\tau

对于满足前述“实部自满足”条件的 h(t)h(t)，显然也满足等式 h(t)=h(t)u(t)h(t)=h(t)u(t)，利用傅里叶变换的乘法性质，证明 h(t)h(t) 傅里叶变换的实部 Hr(jω)H_r(j\omega) 和虚部 Hi(jω)H_i(j\omega) 也满足 Hilbert 变换关系

Hr(jω)=1π∫−∞+∞Hi(jη)ω−η dηH_r(j\omega)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{H_i(j\eta)}{\omega-\eta}\,d\eta\text{}

(3) 如果一个线性时不变系统的输入 x(t)x(t) 和输出 y(t)y(t) 满足 Hilbert 变换关系

y(t)=1π∫−∞+∞x(τ)t−τ dτ,y(t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}\,d\tau\text{,}

证明系统频率响应为

H(jω)={−j,ω>0,j,ω<0H(j\omega)= \begin{cases} -j, & \omega>0\text{,}\\ j, & \omega<0\text{} \end{cases}

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解析

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