信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.107

习题 3.107

逐题解析
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题面提要

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【芝麻研行习题 3.107】

信号处理系统如图 (a) 所示，其中线性时不变子系统的单位冲激响应分别为

h1(t)=1πt,h_1(t)=\frac{1}{\pi t}, h2(t)=−2sin⁡(πt)πt,h_2(t)=-\frac{2\sin(\pi t)}{\pi t}, h3(t)=sin⁡(2πt)πt,h_3(t)=\frac{\sin(2\pi t)}{\pi t}, h4(t)=sin⁡(3πt/2)πt.h_4(t)=\frac{\sin(3\pi t/2)}{\pi t}.

信号

p(t)=∑n=−∞+∞δ(t−43n).p(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta\left(t-\frac{4}{3}n\right).

输入信号 f(t)f(t) 的幅度谱和相位谱如图 (b) 所示。图 (a) 中可辨认的信号及系统标注包括：f(t)f(t)、e(t)e(t)、f1(t)f_1(t)、f2(t)f_2(t)、f3(t)f_3(t)、y(t)y(t)、h1(t)h_1(t)、h2(t)h_2(t)、h3(t)h_3(t)、h4(t)h_4(t)、p(t)p(t)、cos⁡(πt)\cos(\pi t)，以及卷积符号 ⊗\otimes。

图 (b) 给出的输入频谱为

∣F(jω)∣={∣ω∣π,−π≤ω≤π,0,∣ω∣>π,|F(j\omega)|= \begin{cases} \frac{|\omega|}{\pi},&-\pi\le\omega\le\pi,\\ 0,&|\omega|>\pi, \end{cases}

其相位谱为

φ(ω)={−π2,−πω<0,π2,0<ω<π.\varphi(\omega)= \begin{cases} -\frac{\pi}{2},&-\pi\omega<0,\\ \frac{\pi}{2},&0<\omega<\pi. \end{cases}

在 ω=0\omega=0 处，幅度为 00，相位未定义；图中未标明端点处相位。

(1) 求 e(t)e(t) 的表达式，并画出 f1(t)f_1(t) 的频谱图；

(2) 画出 f3(t)f_3(t) 的频谱图；

(3) 画出 y(t)y(t) 的频谱图；

(4) 计算

∫0+∞y(t)cos⁡(7π4t)dt\int_0^{+\infty}y(t)\cos\left(\frac{7\pi}{4}t\right)\mathrm{d}t

的值。

Input Magnitude SpectrumInput magnitude spectrum shown in figure (b): triangular spectrum supported on [-pi, pi], with value 0 at omega=0 and value 1 at omega=±pi.
Input magnitude spectrum shown in figure (b): triangular spectrum supported on [-pi, pi], with value 0 at omega=0 and value 1 at omega=±pi.
|F(jw)|left edgeright edge
Input Phase SpectrumInput phase spectrum shown in figure (b): -pi/2 for -pi<omega<0 and +pi/2 for 0<omega<pi.
Input phase spectrum shown in figure (b): -pi/2 for -pi<omega<0 and +pi/2 for 0<omega<pi.
phase negativephase positive

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