信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.109

习题 3.109

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 159 页已核对

【芝麻研行习题 3.109】☆☆☆

如下图所示，粗线条所示的连续时间周期信号 x(t)x(t)，基本周期为 22，它是由一个余弦信号 cos⁡(10πt)\cos(10\pi t) 受到一个幅值为 11、基本周期为 22 的三角波调制而成，求 x(t)x(t) 的傅里叶级数系数 aka_k。

图中横轴为 tt，纵轴标为 x(t)x(t)；在 t=0t=0 处三角波取峰值 11，在 t=−1t=-1 和 t=1t=1 处取零值，并以 22 为周期延拓。虚线给出三角波的上下包络，粗实线为调制后的 x(t)x(t)。等价地，令三角波为 m(t)m(t)，则

m(t)=1−∣t∣,−1≤t≤1,m(t)=1-|t|,\quad -1\le t\le 1,

并满足

m(t+2)=m(t),x(t)=m(t)cos⁡(10πt).m(t+2)=m(t),\qquad x(t)=m(t)\cos(10\pi t).
周期调制信号 x(t)Periodic triangular envelope and modulated waveform x(t)=m(t)cos(10πt), shown over three periods.
Periodic triangular envelope and modulated waveform x(t)=m(t)cos(10πt), shown over three periods.
m(t)x(t)

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

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