信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.111

习题 3.111

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 161 页已核对

某信号 x(t)x(t) 如图 (a) 所示，某线性时不变系统的频谱特性 H(jω)H(j\omega) 如图 (b) 所示，其中幅频特性函数

∣H(jω)∣={1,∣ω∣<4π,0,∣ω∣≥4π.|H(j\omega)|= \begin{cases} 1, & |\omega|<4\pi, \\ 0, & |\omega|\geq 4\pi. \end{cases}

图 (a) 表示周期为 77 的周期信号。在每个周期内，对任意整数 nn，

x(t)=1−t−7n7,7n≤t<7n+7.x(t)=1-\frac{t-7n}{7},\qquad 7n\leq t<7n+7.

因此，x(7n)=1x(7n)=1，且当 t→(7n+7)−t\to(7n+7)^- 时 x(t)→0x(t)\to0；在 t=7nt=7n 处信号由左极限 00 跳变至 11。

图 (b) 中相频特性 ϕ(jω)\phi(j\omega) 为过原点的直线，并标明

ϕ(j4π)=3.\phi(j4\pi)=3.

故在通带内可写为

ϕ(jω)=34πω,∣ω∣<4π.\phi(j\omega)=\frac{3}{4\pi}\omega,\qquad |\omega|<4\pi.

当信号 x(t)x(t) 输入到该线性时不变系统时，求输出信号 y(t)y(t)。

信号 x(t)周期为 7 的下降锯齿波，整数倍周期起点处从 0 跳变到 1。
周期为 7 的下降锯齿波，整数倍周期起点处从 0 跳变到 1。跳变周期 7
x(t)x(t)x(t)x(t)x(t)x(t)
幅频特性 |H(jω)|理想低通幅频特性，|H(jω)| 在 -4π 与 4π 之间为 1，边界及外部为 0。
理想低通幅频特性，|H(jω)| 在 -4π 与 4π 之间为 1，边界及外部为 0。通带
|H(jω)|
相频特性 φ(jω)过原点的线性相频特性，满足 φ(j4π)=3。
过原点的线性相频特性，满足 φ(j4π)=3。φ(j4π)=3
φ(jω)参考线

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

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