习题 3.112

【芝麻研行习题 3.112】

如图 (1) 所示的信号处理系统。输入信号

$p(t)$ 是图 (2) 所示的周期矩形脉冲，其中 $T$ 是 $x(t)$ 的奈奎斯特采样间隔。以 $\omega_0$ 为中心的带通滤波器 $H_1(j\omega)$ 的频响特性如图 (3-1) 和图 (3-2) 所示，低通滤波器

图 (1) 所示系统的连接关系为：$x(t)$ 与 $p(t)$ 相乘，得到 $x_s(t)$；$x_s(t)$ 经带通滤波器 $H_1(j\omega)$ 后得到 $y(t)$；$y(t)$ 再与 $\sin(\omega_0t)$ 相乘，并经低通滤波器 $H_2(j\omega)$ 后得到 $r(t)$。

周期矩形脉冲 $p(t)$ 的周期为 $T$，幅度为 $1$。在每个周期内，以 $t=0$ 为中心的脉冲区间为

其余区间内 $p(t)=0$；即 $p(t)$ 的占空比为 $1/2$。

带通滤波器满足：

当且仅当

或

其余频率处 $|H_1(j\omega)|=0$。在正频带内，

在负频带内，

因此，可等价写为

(1) 请画出 $x_s(t)$ 的频谱 $X_s(j\omega)$；

(2) 若要使 $y(t)=0$，请给出 $\omega_0$ 的所有可能取值范围。

(3) 若取

请确定 $A$ 和 $\omega_c$ 的取值范围，使 $r(t)=x(t)$。