信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.115

习题 3.115

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 165 页已核对

某信号处理系统由下列串接、相乘和滤波环节组成：

f(t)⟶h1(t)⟶f1(t)⟶h2(t)⟶f2(t)⟶[×cos⁡(100πt)]⟶f3(t)⟶H3(ω)⟶y(t).f(t) \longrightarrow h_1(t) \longrightarrow f_1(t) \longrightarrow h_2(t) \longrightarrow f_2(t) \longrightarrow [\times \cos(100\pi t)] \longrightarrow f_3(t) \longrightarrow H_3(\omega) \longrightarrow y(t).

其中两个线性时不变子系统的单位冲激响应分别为

h1(t)=u(t),h_1(t)=u(t), h2(t)=∑n=−∞+∞δ(t−2n).h_2(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-2n).

带通滤波器

H3(ω)=∣H3(ω)∣e−jωt0.H_3(\omega)=|H_3(\omega)|e^{-j\omega t_0}.

其幅频特性为

∣H3(ω)∣={B,−ωH<ω<−ωL  或 ωL<ω<ωH,0,其他.|H_3(\omega)|= \begin{cases} B,&-\omega_H< \omega<-\omega_L\,\text{ 或 }\omega_L<\omega<\omega_H,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

图中标注的频率顺序为

−ωH<−ωL<0<ωL<ωH.-\omega_H<-\omega_L<0< \omega_L<\omega_H.

输入信号 f(t)f(t) 的波形为：在 −1<t<0-1<t<0 时幅度为 11；在 0<t<10<t<1 时幅度为 −1-1；在其余时间幅度为 00。图中各跃变时刻 t=−1,0,1t=-1,0,1 的函数值未单独标注。

f(t)={1,−1<t<0,−1,0<t<1,0,其他.f(t)= \begin{cases} 1,&-1<t<0,\\ -1,&0<t<1,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

注：在本题中，认为当 t≫πt\gg\pi 时，按 Sa⁡(t)=0\operatorname{Sa}(t)=0 近似处理。

(1) 画出 f1(t)f_1(t) 的波形，及其频谱图；

(2) 画出 f2(t)f_2(t) 的波形，及其频谱图（请画频谱密度）；

(3) 画出 f3(t)f_3(t) 的频谱图（请画频谱密度）；

(4) 若希望

y(t)=2πsin⁡(101πt),y(t)=\frac{2}{\pi}\sin(101\pi t),

请给出 H3(ω)H_3(\omega) 的参数 B,t0,ωL,ωHB,t_0,\omega_L,\omega_H 的取值或取值范围。

f(t)输入信号 f(t) 的分段矩形波形。
输入信号 f(t) 的分段矩形波形。
f(t)
|H3(ω)|带通滤波器幅频特性，两个对称矩形通带。横坐标以端点顺序表示 -ωH、-ωL、0、ωL、ωH。
带通滤波器幅频特性，两个对称矩形通带。横坐标以端点顺序表示 -ωH、-ωL、0、ωL、ωH。B
|H3(ω)|

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解析

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