信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.116

习题 3.116

逐题解析
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题面提要

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【芝麻研行习题 3.116】☆☆☆

要设计一个 DSB-SC 调制器，产生已调信号 km(t)cos⁡ωctk m(t) \cos \omega_c t，其中 m(t)m(t) 是带宽为 B HzB\,\mathrm{Hz} 的带限信号，如图 6(a) 所示。其连续时间傅里叶变换为 M(ω)M(\omega)，图中给出的频谱满足

M(ω)={1−∣ω∣2πB,∣ω∣≤2πB,0,∣ω∣>2πB.M(\omega)= \begin{cases} 1-\dfrac{|\omega|}{2\pi B}, & |\omega|\le 2\pi B,\\ 0, & |\omega|>2\pi B. \end{cases}

图 6(b) 所示为设计的 DSB-SC 调制器：m(t)m(t) 与载波发生器输出的 cos⁡3ωct\cos^3 \omega_c t 相乘，乘法器输出端为 aa 点；随后通过带通滤波器，滤波器输出端为 bb 点。带通滤波器的中心频率为 ωc\omega_c，带宽为 2B Hz2B\,\mathrm{Hz}，期望在 bb 点得到 km(t)cos⁡ωctk m(t)\cos \omega_c t。

求：

(1) 此调制器是否可产生期望的信号 km(t)cos⁡ωctk m(t)\cos \omega_c t？若可以，kk 值为多少？

(2) 最小可用的 ωcmin⁡\omega_{c\min} 值是多少？

(3) 当 ωc>ωcmin⁡\omega_c>\omega_{c\min} 时，确定 aa、bb 点频谱，指出这些频谱所占用的频带宽度。

(4) 若载波为 cos⁡2ωct\cos^2 \omega_c t，这个方案还能工作吗？为什么？

M(ω)Baseband spectrum shown in Fig. 6(a), plotted against normalized angular frequency ω/(2πB).
Baseband spectrum shown in Fig. 6(a), plotted against normalized angular frequency ω/(2πB).−2πB12πB
M(ω)

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