习题 3.117

一种不要求相位同步但要求频率同步的解调系统如图 (a)。两个低通滤波器的截止角频率都是 $\omega_m$。

输入信号为

其中，$\theta_c$ 是未知常数，$f(t)$ 是带限信号，满足当 $|\omega|>\omega_m$ 时，$F(j\omega)=0$，且 $\omega_m<\omega_c$。设对所有 $t$ 均有 $f(t)+A>0$。

图 (b) 给出 $F(j\omega)$：其为定义在 $[-\omega_m,\omega_m]$ 上的三角形谱，$F(0)=1$，并在 $\omega=-\omega_m$ 和 $\omega=\omega_m$ 处为 $0$。

图 (a) 的结构如下：$y(t)$ 分为上下两路。上路先与 $\cos(\omega_c t)$ 相乘，经截止角频率为 $\omega_m$ 的低通滤波器后得到 $z_1(t)$，再经平方器。下路先与 $\sin(\omega_c t)$ 相乘，经截止角频率为 $\omega_m$ 的低通滤波器后得到 $z_2(t)$，再经平方器。两路平方器输出相加，和再经过平方根器，输出为 $r(t)$。

(1) 求 $y(t)$ 和 $y(t)\cos(\omega_c t)$ 的频谱密度函数；

(2) 画出 $y(t)$ 和 $y(t)\cos(\omega_c t)$ 的频谱图；

(3) 求 $z_1(t)$、$z_2(t)$ 和 $r(t)$。