信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.118

习题 3.118

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 168 页已核对

下图表示抽样示波器的基本概念，对高速的周期性波形 x(t)x(t) 抽样，抽样周期比信号周期 TT 延长一个增量 Δ\Delta，该增量 Δ\Delta 远远小于原始信号周期 TT。该增量 Δ\Delta 应根据波形 x(t)x(t) 的带宽适当选择。若将所得到的冲激串通过一个合适的低通内插滤波器，则输出 y(t)y(t) 将是原始信号的减速波形，即 y(t)y(t) 与 x(at)x(at) 成正比，其中 a<1a<1。

图示条件等价表述如下：

  • 输入 x(t)x(t) 为周期波形，周期为 TT。
  • 抽样冲激串 p(t)p(t) 的相邻冲激间隔为 T+ΔT+\Delta。
  • 系统先将 x(t)x(t) 与 p(t)p(t) 相乘，得到 g(t)g(t)，再通过低通内插滤波器 H(jω)H(j\omega)，输出为 y(t)y(t)。

系统如下图所示，g(t)=x(t)p(t)g(t)=x(t)p(t)，当

x(t)=A+Bcos⁡(2πTt)x(t)=A+B\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)

时，

p(t)=∑n=−∞∞δ(t−n(T+Δ))p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\bigl(t-n(T+\Delta)\bigr)

低通内插滤波器可以表示为

H(jω)={1,∣ω∣<12(T+Δ),0,else.H(j\omega)= \begin{cases} 1, & |\omega|<\dfrac{1}{2(T+\Delta)},\\ 0, & \text{else}. \end{cases}

(1) 求 g(t)g(t) 的傅里叶变换 G(ω)G(\omega)；

(2) 求使得图中滤波器输出 y(t)=kx(at)y(t)=kx(at) 成正比的增量 Δ\Delta 的范围，并根据 TT 和 Δ\Delta 求 aa 以及实系数 kk 的值。

x(t)Periodic input waveform; one period is T.
Periodic input waveform; one period is T.T
x(t)
p(t)Sampling impulse train with adjacent impulses separated by T+Delta.
Sampling impulse train with adjacent impulses separated by T+Delta.T+Delta
p(t)
y(t)Schematic slowed output waveform.
Schematic slowed output waveform.
y(t)

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

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