信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.119

习题 3.119

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

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第 119 题题目

【芝麻研行习题 3.119】☆☆☆☆

已知 f(t)f(t) 波形如下所示，回答下列问题：

图示信号 f(t)f(t) 为周期方波，在所示区间内满足：

f(t)={1,−2<t<−1,−1,−1<t<0,1,0<t<1,−1,1<t<2,1,2<t<3,−1,3<t<4,f(t)= \begin{cases} 1, & -2<t<-1, \\-1, & -1<t<0, 1, & 0<t<1, \\-1, & 1<t<2, 1, & 2<t<3, \\-1, & 3<t<4, \end{cases}

并按此交替波形周期延拓；图中标注的跳变位置为整数点，波形幅值为 11 和 −1-1。

（1）根据信号的对称性分析信号含有哪些正余弦分量？

（2）设 g~(t)\tilde{g}(t) 是以 44 为周期的周期信号，且

g~(t){u(t)−u(t−2)}=f(t){u(t)−u(t−32)}\tilde{g}(t)\bigl\{u(t)-u(t-2)\bigr\}=f(t)\bigl\{u(t)-u\bigl(t-\frac{3}{2}\bigr)\bigr\}

画出如下每种情况下 g~(t)\tilde{g}(t) 在一个周期 [−2,2][-2,2] 内的波形。

① g~(t)\tilde{g}(t) 只含正弦分量；

② g~(t)\tilde{g}(t) 只含余弦分量；

③ g~(t)\tilde{g}(t) 只含偶次谐波分量；

④ g~(t)\tilde{g}(t) 只含奇次谐波分量；

（3）请给出 f(t)f(t) 的指数形式和三角形式的傅里叶级数。

（4）画出信号的单边谱和双边谱。

（5）计算

∑n=1+∞8n2π2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{8}{n^2\pi^2}

（nn 为奇数）

（6）设 NN 为正整数。现对 f(t)f(t) 的傅里叶级数进行截断，只保留前 NN 次谐波分量来逼近 f(t)f(t)，即

f(t)≈fN(t)=∑n=−N+NFnejnπtf(t)\approx f_N(t)=\sum_{n=-N}^{+N}F_n e^{jn\pi t}

其中 FnF_n 是 f(t)f(t) 的傅里叶级数系数。

① 若取 N=4N=4，求 fN(t)f_N(t) 的功率；

② 当 NN 值越大时，fN(t)f_N(t) 波形会出现何种现象？这种现象会随着 NN 越大而逐渐消失吗？

（7）若某线性时不变系统的单位冲激响应为

h(t)={1+cos⁡πt,∣t∣≤1,0,t 为其它h(t)= \begin{cases} 1+\cos\pi t, & |t|\le 1, 0, & t\text{ 为其它}\text{} \end{cases}

① 画出系统的频率响应特性；

② 求系统对 f(t)f(t) 的响应；

f(t)周期方波：在每个长度为1的区间内取交替的1和-1。
周期方波：在每个长度为1的区间内取交替的1和-1。f(t)1-1
f=1f=-1

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解析

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