信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.120

习题 3.120

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

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第 120 题题目

【芝麻研行习题 3.120】☆☆☆☆

完成下列各题（后面的题目可利用前面题目的结论）

（1）设 f(t)f(t)，h(t)h(t) 为能量信号，且 y(t)=f(t)∗h(t)y(t)=f(t)*h(t)。证明：

（i）

∫−∞+∞y(t)dt=∫−∞+∞f(t)dt⋅∫−∞+∞h(t)dt\int_{-\infty}^{+\infty}y(t)\mathrm{d}t= \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{d}t\cdot \int_{-\infty}^{+\infty}h(t)\mathrm{d}t

；

（ii）

1∣a∣y(at)=f(a(t+b))∗h(a(t−b)),\frac{1}{\lvert a\rvert}y(at)=f(a(t+b))*h(a(t-b))\text{,}

aa 为任意非零实数；

（2）设 x(t)x(t)，y(t)y(t) 的傅氏变换分别为 X(ω)X(\omega)，Y(ω)Y(\omega)。证明：

∫−∞+∞x(t)y∗(t)dt=12π∫−∞+∞X(ω)Y∗(ω)dω\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)y^{*}(t)\mathrm{d}t= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)Y^{*}(\omega)\mathrm{d}\omega

（3）设 x~(t)\tilde{x}(t)，y~(t)\tilde{y}(t) 均为周期 TT 的周期信号。试猜出一个与（2）中相对应的结论，并尝试证明之。

（提示：请对比傅里叶变换与傅氏级数各自的帕塞瓦尔定理，即能量定理和功率定理）

（4）计算

∫−∞+∞(sin⁡at(a2+t2)πt)dt,a>0\int_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{\sin at}{(a^{2}+t^{2})\pi t}\right)\mathrm{d}t\text{,}\quad a>0

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解析

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