信号与系统
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第 3 章 · 原题号 3.121

习题 3.121

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 171 页已核对

实 LTI 系统的幅频响应和相频响应如图所示。现给系统输入周期为 44 的周期信号 e(t)e(t) 时，输出

y(t)=2−2πcos⁡(πt).y(t)=2-\frac{2}{\pi}\cos(\pi t).

(1) 求系统单位冲激响应 h(t)h(t)，用 A1A_1、A2A_2、ω1\omega_1、ω2\omega_2、ω3\omega_3、τ\tau 来表达；

(2) 求周期信号 e(t)e(t) 的傅里叶级数表达式；

(3) 求系统参数 A1A_1、A2A_2、A3A_3、ω1\omega_1、ω2\omega_2、ω3\omega_3、τ\tau 的取值或取值范围。

图中系统频率响应满足：

∣H(jω)∣={A1,−ω1<ω<ω1,A2,ω2<ω<ω3,A3,−ω3<ω<−ω2,0,其他频率.|H(j\omega)|= \begin{cases} A_1, & -\omega_1<\omega<\omega_1,\\ A_2, & \omega_2<\omega<\omega_3,\\ A_3, & -\omega_3<\omega<-\omega_2,\\ 0, & \text{其他频率}. \end{cases}

相频响应为

φ(ω)=−ωτ.\varphi(\omega)=-\omega\tau.

输入信号的一个周期可取为 −2<t<2-2< t<2：

e(t)={2,−2<t<0,2−2t,0<t<2,e(t)= \begin{cases} 2, & -2<t<0,\\ 2-2t, & 0<t<2, \end{cases}

并作周期延拓，即 e(t+4)=e(t)e(t+4)=e(t)。等价地，在每个周期内，e(t)e(t) 在周期起点由 −2-2 跳变至 22，随后保持为 22 至半周期处；后半周期由 22 线性下降至 −2-2。

Magnitude responsePiecewise-constant magnitude response with three passbands.
Piecewise-constant magnitude response with three passbands.A₃A₁A₂
A₃ bandA₁ bandA₂ band
Phase responseLinear phase response.
Linear phase response.φ(ω)=−ωτ
φ(ω)=−ωτ
Periodic input e(t)One period is 4: each period starts at 2, remains constant for 2 units, then decreases linearly to −2 before the next jump.
One period is 4: each period starts at 2, remains constant for 2 units, then decreases linearly to −2 before the next jump.
period −2period −1period 0period 1reference guides

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解析

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