习题 3.122

设带限信号 $f(t)$ 的频谱 $F(\omega)$ 为如图所示的半波余弦。图中频谱满足

其在 $\omega=0$ 处的值为 $1$，在 $\omega=-8$ 和 $\omega=8$ 处的值为 $0$。

(1) 写出 $f(t)$ 的表达式，并画出其波形；

(2) 写出如图所示周期信号 $g(t)$ 的傅里叶变换 $G(\omega)$ 的表达式；

图中 $g(t)$ 是冲激串：在 $t=2kT$ 处有强度为 $2$ 的冲激，在 $t=(2k+1)T$ 处有强度为 $1$ 的冲激，其中 $k\in\mathbb{Z}$。即

(3) 用信号 $g(t)$ 对 $f(t)$ 进行采样得到 $f_s(t)$，求能从 $f_s(t)$ 还原得到 $f(t)$ 的最大 $T$，并画出此时 $f_s(t)$ 的频谱。

(4) 在第 (3) 问得到的最大 $T$ 的条件下，写出从 $f_s(t)$ 还原出 $f(t)$ 的方法。