信号与系统
返回题库
第 3 章 · 原题号 3.125

习题 3.125

逐题解析
逐题解析

题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 175 页已核对

某连续 LTI 系统的频率响应 H(jω)H(j\omega) 如图所示。图中频率响应可等价表示为：

∣H(jω)∣={∣ω∣3π,∣ω∣<3π,0,∣ω∣>3π,|H(j\omega)|= \begin{cases} \dfrac{|\omega|}{3\pi},&|\omega|<3\pi,\\ 0,&|\omega|>3\pi, \end{cases}

且其相位为

φ(ω)={−π2,−3π<ω<0,π2,0<ω<3π.\varphi(\omega)= \begin{cases} -\dfrac{\pi}{2},&-3\pi<\omega<0,\\ \dfrac{\pi}{2},&0<\omega<3\pi. \end{cases}

在 ω=0\omega=0 处，图示 ∣H(jω)∣=0|H(j\omega)|=0；在 ω=±3π\omega=\pm3\pi 处的端点取值不影响以下连续时间 Fourier 反变换。

  1. 求系统的单位冲激响应 h(t)h(t)，特别地请给出 h(t)h(t) 在 t=0t=0 处的值；

  2. 求系统对下列各输入信号的响应 y(t)y(t)：

(1) d(t)=ej2πtd(t)=e^{j2\pi t}；

(2) n(t)=sgn⁡(t)n(t)=\operatorname{sgn}(t)；

(3)

g(t)=sin⁡2(π2t)sin⁡(4πt)t2+∑n=−∞+∞sin⁡[2π(t−n)][u(t−n)−u(t−12−n)];g(t)=\frac{\sin^2\left(\frac{\pi}{2}t\right)\sin(4\pi t)}{t^2} +\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\sin[2\pi(t-n)]\left[u(t-n)-u\left(t-\frac{1}{2}-n\right)\right];

(4) 输入 x(t)x(t) 是任意上限截止频率小于 3π3\pi 的实信号。

幅频响应 |H(jω)|幅频响应：在 -3π 到 0 之间线性下降，在 0 到 3π 之间线性上升，通带外为零。
幅频响应：在 -3π 到 0 之间线性下降，在 0 到 3π 之间线性上升，通带外为零。通带边界通带边界
|H(jω)|幅值 1
相频响应 φ(ω)相频响应：负频率通带内相位为 -π/2，正频率通带内相位为 π/2；通带外图中未定义或不显示。
相频响应：负频率通带内相位为 -π/2，正频率通带内相位为 π/2；通带外图中未定义或不显示。相位跳变
φ(ω)=-π/2φ(ω)=π/2

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

解析已隐藏。先在纸上写出第一步、关键公式和适用条件，再核对答案。

记录本次练习

结果会保存在本机，并通过统一课程接口同步给未来总平台。