习题 4.65

【芝麻研行习题 4.65】

某 LTI 系统的流图如图所示。

将图中的节点和支路等价记为：输入 $X(s)$ 经增益 $1$ 到达分支节点 $a$，输出汇合节点 $o$ 经增益 $1$ 输出为 $Y(s)$。

1. 上支路：$a\rightarrow b$ 的增益为 $1$，$b\rightarrow c$ 的增益为 $s^{-1}$，$c\rightarrow d$ 的增益为 $3$，$d\rightarrow o$ 的增益为 $1$。
2. 中支路：$a\rightarrow e$ 的增益为 $1$，$e\rightarrow f$ 的增益为 $s^{-1}$，$f\rightarrow o$ 的增益为 $2$；另有反馈支路 $f\rightarrow e$，增益为 $1$。
3. 下支路：$a\rightarrow g$ 的增益为 $1$，$g\rightarrow h$ 的增益为 $s^{-1}$，$h\rightarrow i$ 的增益为 $1$，$i\rightarrow k$ 的增益为 $s^{-1}$，$k\rightarrow o$ 的增益为 $-1$；另有前馈支路 $i\rightarrow o$，增益为 $2$；反馈支路 $i\rightarrow g$ 的增益为 $-2$，反馈支路 $k\rightarrow i$ 的增益为 $-2$。

(1) 利用梅森公式求系统函数 $H(s)$；

(2) 求系统的零状态单位冲激响应 $h(t)$；

(3) 在零状态下，输入 $x(t)=e^{-3t}u(t)$，求系统的稳态响应；

(4) 求系统对 $x(t)=e^t$，$(-\infty<t<+\infty)$ 的响应。