习题 4.68

【芝麻研习题 4.68】

反馈系统的误差项为 $e(t)$，定义

为稳态误差，$K$ 为实常数。

框图可等价文字定义如下。设第一个加法器输出为 $E(s)$，第二个加法器（位于 $K$ 之前）的输出为 $V(s)$，系统输出为 $Y(s)$。输入 $X(s)$ 以正号进入第一个加法器；$V(s)$ 经传递函数 $\frac{1}{s}$ 后以负号反馈到第一个加法器。$E(s)$ 经传递函数 $\frac{1}{s+2}$ 后以正号进入第二个加法器；$Y(s)$ 经传递函数 $\frac{1}{s}$ 后以负号反馈到第二个加法器。第二个加法器输出 $V(s)$ 经增益 $K$ 得到输出 $Y(s)$，即

(1) 若 $x(t)$ 的拉普拉斯变换为 $X(s)$，求 $e(t)$ 的拉普拉斯变换 $E(s)$；

(2) 当 $x(t)=u(t)$ 时，求 $e_s$；

(3) 当 $x(t)=e^{-2t}u(t)$，$K=4$ 时，求 $y(t)$。