信号与系统
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第 4 章 · 原题号 4.73

习题 4.73

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 254 页已核对

【芝麻研习习题 4.73】

连续时间线性时不变反馈系统 LL 的结构如图所示，其中子系统 G(s)G(s) 为因果线性时不变系统，其单位冲激响应 g(t)g(t) 满足微分方程

d2g(t)dt2+ag(t)=bδ(t),\frac{d^2g(t)}{dt^2}+ag(t)=b\delta(t),

已知

∫−∞+∞g(t)e−2tdt=45\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-2t}dt=\frac{4}{5}

且

dg(t)dt∣t=0+=4\left.\frac{dg(t)}{dt}\right|_{t=0^+}=4\text{}

（注：图中 k1,k2k_1,k_2 以及式中 a,ba,b 均为实常数。）

系统 LL 的结构为：输入 x(t)x(t) 与反馈信号在加法器处相加，加法器输出经过前向子系统 G(s)G(s) 后得到输出 y(t)y(t)；输出 y(t)y(t) 经反馈子系统 k1s+k2k_1s+k_2 后反馈至该加法器。加法器两个输入端均为正号，即

E(s)=X(s)+(k1s+k2)Y(s),Y(s)=G(s)E(s)E(s)=X(s)+(k_1s+k_2)Y(s),\qquad Y(s)=G(s)E(s)\text{}

(1) 求出 aa 和 bb 的值；

(2) 写出 G(s)G(s) 的表达式及其收敛域，并判断该子系统的稳定性；

(3) 若系统 LL 为因果稳定系统，求 k1,k2k_1,k_2 的取值范围；

(4) 若系统 LL 为因果系统，且

k1=−1,k2=−12,k_1=-1,\qquad k_2=-\frac{1}{2},

当其输入为

x(t)=e−tu(t)x(t)=e^{-t}u(t)

时，求输出 y(t)y(t) 的表达式。

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

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