信号与系统
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第 4 章 · 原题号 4.75

习题 4.75

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 256 页已核对

【芝麻研行习题 4.75】

设某二阶连续 LTI 系统的单位冲激响应为 h(t)=ke−tu(t)h(t)=ke^{-t}u(t)，系统初始状态记为 y(0−),y′(0−)y(0_-),y'(0_-)。现已知当系统初始状态

y(0−)=A,y′(0−)=1y(0_-)=A,\quad y'(0_-)=1

时，有

① 输入 cos⁡(t)u(t)\cos(t)u(t) 时，系统的稳态响应为

22cos⁡(t−π4)u(t)\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)u(t)

② 输入 tu(t)tu(t) 时，系统零输入响应为

yzi0(t)=−e−2tu(t)+Be−tu(t),B≠0,y_{zi0}(t)=-e^{-2t}u(t)+Be^{-t}u(t)\text{,}\quad B\ne 0\text{,}

现回答下列 (a)～(f) 问题：

(a) 求系统函数，画零极图，并标注收敛域；（提示：系统二阶哦！）

(b) 写出系统微分方程；

(c) 画出系统框图；

(d) 画出系统幅频特性 ∣H(jω)∣|H(j\omega)| 和相频特性 φ(ω)\varphi(\omega)（标注出当幅频特性下降到最大值的 12\frac{1}{\sqrt{2}} 时的幅频值和相频值），并指明是哪种类型的滤波器；

(e) 若某线性时不变系统的单位冲激响应为 hinv(t)h_{inv}(t)，且满足如下级联关系：输入为 f(t)f(t)，依次通过单位冲激响应为 h(t)h(t) 的系统和单位冲激响应为 hinv(t)h_{inv}(t) 的系统；两系统之间的信号为 y(t)y(t)，级联输出为 f(t)f(t)。

则称 hinv(t)h_{inv}(t) 是 h(t)h(t) 的逆系统。求逆系统 hinv(t)h_{inv}(t)；

(f) 求系统初始状态 y(0−)y(0_-) 及 BB；

(g) 若系统初始状态为

y(0−)=1,y′(0−)=0y(0_-)=1,\quad y'(0_-)=0

求输入 f(t)=tu(t)f(t)=tu(t) 时，系统的零输入响应 yzi1(t)y_{zi1}(t)、零状态响应 yzs1(t)y_{zs1}(t)、全响应 y1(t)y_1(t)；

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解析

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