习题 4.80

【芝麻研行习题 4.80】☆☆☆

已知某线性时不变系统单位冲激响应为 $h(t)=u(t)-u(t-2)$。

(1) 判断系统的因果性和稳定性；

(2) 求系统频率响应特性 $H(j\omega)$，并指明它是哪种类型的滤波器；

(3) 画出系统幅频特性 $|H(j\omega)|$；

(4) 求系统函数 $H(s)$，写出系统函数与频率响应特性 $H(j\omega)$ 的关系；

(5) 并画出系统零极图；

(6) 根据系统零极点分布说明系统幅频特性的特征；

(7) 分别求系统对 $f(t)=e^{-t}$ 的响应；

(8) 求系统对如下信号 $x(t)$ 的响应 $y(t)$；

(9) 求信号 $x(t)u(t)$ 的 Laplace 变换，并求系统对信号 $x(t)u(t)$ 的响应，并画出响应的波形 $r(t)$。

(10) 试根据卷积说明，为什么上述 $r(t)$ 在 $t>2$ 时的取值，为什么会是那样？请给出推导过程。

(11) 承接第 (10) 问，对于因果稳定系统，我们可以根据输出信号中极点的特点将输出分为稳态分量和瞬态（暂态）分量两部分。求 $r(t)$ 中的稳态分量和瞬态分量。并从极点角度解释稳态分量为何会是那样？

图中信号 $x(t)$ 为以 $2$ 为周期的周期信号。对任意整数 $k$，

其图形在每个偶整数时刻由 $-1$ 跳变至 $0$，随后线性上升至 $1$；在每个奇整数时刻由 $1$ 跳变至 $0$，随后线性下降至 $-1$。图中标注了横轴时刻 $-2,-1,0,1,2,3,4$，纵轴幅度 $1,-1$。