习题 5.38

【芝麻研行习题 5.38】☆☆☆

某因果离散时间线性时不变系统的信号流图如图所示：

将图中的各节点及支路等价文字化如下。输入节点为 $x[n]$，输出节点为 $y[n]$。

1. 从 $x[n]$ 节点至上方右侧相邻节点的支路增益为 $-\frac{1}{4}$；该上方节点至其右侧主支路节点的支路增益为 $z^{-1}$。
2. 从 $x[n]$ 节点向下至左下节点的支路增益为 $1$；左下节点至右侧下方节点的支路增益为 $1$；该右侧下方节点向上至上述主支路节点的支路增益为 $1$。
3. 该主支路节点依次经两条增益均为 $1$ 的支路到达输出节点 $y[n]$。
4. 从输出节点 $y[n]$ 向下至右侧中间节点的支路增益为 $z^{-1}$，再向下至右下节点的支路增益为 $z^{-1}$。
5. 右侧中间节点经一条从右向左的支路至中间左侧节点，支路增益为 $\frac{1}{2}$；右下节点经一条从右向左的支路至左下节点，支路增益为 $-\frac{1}{4}$。左下节点向上至中间左侧节点的支路增益为 $1$，中间左侧节点再向上至主支路节点的支路增益为 $1$。

(1) 求系统函数 $H(z)$；

(2) 求单位脉冲响应 $h[n]$；

(3) 判断该系统的稳定性；

(4) 若系统初始状态为零，当输入 $x[n]=1+2\cos(\pi n)$ 时求输出 $y[n]$。