习题 5.45

【芝麻研行习题 5.45】

已知离散时间因果 $LTI$ 系统的方框图如图所示，其中 $x[n]$ 为输入信号，$y[n]$ 为输出信号：

设顶部主通路中、第一个加法器输出（也是通向第二个加法器的信号）为 $w[n]$。第一个加法器的两个输入均以正号相加：一个输入为 $x[n]$，另一个输入为下方反馈支路的输出。

由 $w[n]$ 引出一条竖直向下的支路，依次通过两个单位延时环节 $z^{-1}$。第一个延时环节输出为 $w[n-1]$：该信号一路经增益 $5/2$ 后送入下方加法器的右侧输入；另一路经增益 $k$ 后向上送入第二个加法器的下方输入。第二个延时环节输出为 $w[n-2]$，经增益 $-1$ 后送入下方加法器的下方输入。下方加法器的两个输入均以正号相加，其输出向上反馈至第一个加法器的下方输入。第二个加法器将 $w[n]$ 与经增益 $k$ 的 $w[n-1]$ 以正号相加，输出为 $y[n]$。

(1) 求其系统函数 $H(z)$ 以及单位脉冲序列响应 $h[n]$；

(2) 写出系统对应的差分方程；

(3) 根据 $k$ 的不同取值确定 $H(z)$ 的极点、收敛域及系统的稳定性；

(4) 若系统稳定，且输入信号 $x[n]=u[n]$，利用 $Z$ 变换求解系统响应 $y[n]$。