习题 5.48

【芝麻研行习题 5.48】

已知一线性离散时间系统的零极点分布如下：在 $z$ 平面上，零点 $z_1$ 位于原点 $z=0$；极点 $p_1$ 位于实轴上的 $z=-\frac{1}{2}$，极点 $p_2$ 位于实轴上的 $z=2$。且 $H(1)=-\frac{2}{3}$（本条件仅是说当 $z$ 取 $1$ 的时候，$H(z)$ 的值为 $-\frac{2}{3}$，不代表 $1$ 在 $H(z)$ 的收敛域里面）：

(1) 写出系统函数 $H(z)$；

(2) 若系统为因果系统，求系统的收敛域和单位样值响应 $h(n)$；

(3) 若系统为稳定系统，求系统的收敛域和单位样值响应 $h(n)$；

(4) 若系统为因果系统，当系统的输入 $x(n)=u(n)$ 时，求系统的零状态响应。