信号与系统
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第 5 章 · 原题号 5.66

习题 5.66

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

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第六十六题题目

【芝麻研行习题 5.66】

回答下列问题：

(1) 画出

H(z)=z2−(2acos⁡ω0)z+a2z2−(2a−1cos⁡ω0)z+a−2,(a>1)H(z)=\frac{z^2-(2a\cos\omega_0)z+a^2}{z^2-(2a^{-1}\cos\omega_0)z+a^{-2}},\quad (a>1)

的零极点分布图，并求出幅频特性；

(2) 已知 x[n]x[n] 的离散时间傅里叶变换为 X(ejω)X(e^{j\omega})，现有一离散时间系统，其输入输出关系为

y(n)={x(n2),n为偶数2x(n−12),n为奇数y(n)= \begin{cases} x\left(\frac{n}{2}\right), & n\text{为偶数}\\\\[4pt] 2x\left(\frac{n-1}{2}\right), & n\text{为奇数} \end{cases}

试用 X(ejω)X(e^{j\omega}) 来表示 y[n]y[n] 的频谱 Y(ejω)Y(e^{j\omega})，并判断系统是否线性、时不变；

其中，(1) 中的零极点分布图应在 zz 平面中表示，并以所给 H(z)H(z) 的分子零点和分母极点为依据。

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

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