信号与系统
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第 5 章 · 原题号 5.67

习题 5.67

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 337 页已核对

【芝麻研行习题 5.67】

某信号处理流程如下所示，其中

h[n]=4sin⁡(π10n)πncos⁡(π5n)h[n]=\frac{4\sin\left(\frac{\pi}{10}n\right)}{\pi n}\cos\left(\frac{\pi}{5}n\right) ys(t)=∑n=−∞+∞x3[n] δ(t−nT)y_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_3[n]\,\delta(t-nT)

其中 TT 为已知常量，

Hr(jω)={1,∣ω∣<π5T0,∣ω∣>π5TH_r(j\omega)= \begin{cases} 1, & |\omega|<\frac{\pi}{5T}\\ 0, & |\omega|>\frac{\pi}{5T} \end{cases}

已知 x[n]x[n] 的频谱如下图所示，请画出 x1[n]x_1[n]、x2[n]x_2[n]、x3[n]x_3[n]、ys(t)y_s(t)、y(t)y(t) 的频谱。

信号处理流程的文字定义如下：

x[n]→与 cos⁡(0.2πn) 相乘x1[n]→h[n]x2[n]→与 cos⁡(0.2πn) 相乘x3[n]→序列转冲激串ys(t)→Hr(jω)y(t)x[n]\xrightarrow{\text{与 }\cos(0.2\pi n)\text{ 相乘}}x_1[n]\xrightarrow{h[n]}x_2[n]\xrightarrow{\text{与 }\cos(0.2\pi n)\text{ 相乘}}x_3[n]\xrightarrow{\text{序列转冲激串}}y_s(t)\xrightarrow{H_r(j\omega)}y(t)

其中“序列转冲激串”表示将离散序列 x3[n]x_3[n] 转换为

ys(t)=∑n=−∞+∞x3[n] δ(t−nT).y_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x_3[n]\,\delta(t-nT).

已知输入序列的离散时间傅里叶变换 X(ejω)X(e^{j\omega}) 以 2π2\pi 为周期。在主值区间内，它在 ω=0\omega=0 处取值 11，在 ω=±π5\omega=\pm\frac{\pi}{5} 处取值 00，并由直线段构成三角形：

X(ejω)={1−5∣ω∣π,∣ω∣≤π5,0,π5<∣ω∣≤π,X(e^{j\omega})= \begin{cases} 1-\dfrac{5|\omega|}{\pi}, & |\omega|\leq\dfrac{\pi}{5},\\ 0, & \dfrac{\pi}{5}<|\omega|\leq\pi, \end{cases}

并按 2π2\pi 周期延拓。

X(e^{jω})Given input discrete-time spectrum in the principal interval, with periodic continuation.
Given input discrete-time spectrum in the principal interval, with periodic continuation.2π periodic
X(e^{jω})

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