信号与系统
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第 5 章 · 原题号 5.73

习题 5.73

逐题解析
逐题解析

题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 343 页已核对

设 X(ejω)X(e^{j\omega}) 是序列 x[n]x[n] 的离散时间傅里叶变换，请在不求 X(ejω)X(e^{j\omega}) 的情况下，求：

图中序列的非零样值为

x[−3]=−1,x[−1]=1,x[0]=2,x[1]=1,x[-3]=-1,\quad x[-1]=1,\quad x[0]=2,\quad x[1]=1, x[3]=−1,x[4]=−2,x[5]=−1,x[7]=1,x[3]=-1,\quad x[4]=-2,\quad x[5]=-1,\quad x[7]=1,

其余各整数时刻的样值均为 00。

(1) 求 X(ej2π)X(e^{j2\pi}) 的值；

(2) 求 X(ejπ)X(e^{j\pi}) 的值；

(3) ∠X(ejπ)\angle X(e^{j\pi})；

(4)

∫−ππX(ejω) dω;\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})\,\mathrm{d}\omega\text{;}

(5)

∫−ππ∣X(ejω)∣2 dω;\int_{-\pi}^{\pi}\left|X(e^{j\omega})\right|^2\,\mathrm{d}\omega\text{;}

(6)

∫−ππX(ejω)e−jω dω;\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{-j\omega}\,\mathrm{d}\omega\text{;}

(7)

∫−ππX(ejω)(1−e−jω) dω;\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})\left(1-e^{-j\omega}\right)\,\mathrm{d}\omega\text{;}

(8)

∫−ππ∣dX(ejω)dω∣2 dω;\int_{-\pi}^{\pi}\left|\frac{\mathrm{d}X(e^{j\omega})}{\mathrm{d}\omega}\right|^2\,\mathrm{d}\omega\text{;}

(9)

∫−ππX(ejω)sin⁡(5ω/2)sin⁡(ω/2) dω;\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})\frac{\sin(5\omega/2)}{\sin(\omega/2)}\,\mathrm{d}\omega\text{;}

(10) Re⁡{X(ejω)}\operatorname{Re}\{X(e^{j\omega})\} 的傅里叶反变换的序列；

x[n]Discrete-time sequence shown in the prompt.
Discrete-time sequence shown in the prompt.-1121-1-2-11
x[n]zero samples

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

解析已隐藏。先在纸上写出第一步、关键公式和适用条件，再核对答案。

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