习题 5.80

习题 $5.80$

连续域调制离散域解调的系统，系统框图如下：输入 $x(t)$ 先与 $\cos(\omega_1t)$ 相乘，得到 $x_1(t)$；$x_1(t)$ 经 A/D 模块得到 $y_1(n)$；$y_1(n)$ 再与 $\cos(\omega_2n)$ 相乘，得到 $y_2(n)$；$y_2(n)$ 经离散域滤波器 $H(e^{j\omega})$ 后输出 $y(n)$。

其中，$H(e^{j\omega})$ 为离散域上理想低通滤波器，截止频率为 $\omega_c$：

A/D 模块的作用是对输入模拟信号 $x_1(t)$ 以 $T$ 为间隔采样并输出离散时间序列：

已知 $x(t)$ 的频谱为

其中

$(1)$ 若 $\omega_1=2\pi$，绘制 $X_1(\omega)$、$Y_1(e^{j\omega})$、$Y_2(e^{j\omega})$ 的图像。

$(2)$ 若 $\omega_1=2\pi$，为使 $y(n)=x(nT)$，求 $\omega_c$ 的取值范围。

$(3)$ 为使 $y(n)=x(nT)$，求 $\omega_1$ 的所有可能值。