信号与系统
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第 5 章 · 原题号 5.81

习题 5.81

逐题解析
逐题解析

题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 351 页已核对

第八十一题题目

【芝麻研习题 5.81】☆☆☆☆

设实偶序列 x[n]x[n]，其对称中心在原点处，zz 变换 X(z)X(z) 的在 −1-1 处有零点。

(1) 证明序列 x[n]x[n] 的 DTFT X(ejω)X(e^{j\omega}) 也是实偶函数；

(2) 若定义信号 x[n]x[n] 的有效时宽为

Td=[∑n=−∞+∞n2∣x[n]∣2∑n=−∞+∞∣x[n]∣2]12T_d=\left[\frac{\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}n^2|x[n]|^2}{\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]|^2}\right]^{\frac{1}{2}}

有效带宽为

Bω=[∫−ππω2∣X(ejω)∣2 dω∫−ππ∣x(ejω)∣2 dω]12B_{\omega}=\left[\frac{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\omega^2|X(e^{j\omega})|^2\,d\omega}{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|x(e^{j\omega})|^2\,d\omega}\right]^{\frac{1}{2}}

请证明：

Td⋅Bω≥12T_d\cdot B_{\omega}\ge \frac{1}{2}\text{}

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

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