习题 5.84

【芝麻研行习题 5.84】

如某因果离散 LTI 系统如图所示。

图中：输入 $X(z)$ 分为两路后进入加法器。一条支路经增益 $3$ 后进入加法器；另一条支路先经一个单位延时环节 $z^{-1}$ 后进入加法器。加法器输出为 $Y(z)$。

输出信号同时进入由两个单位延时环节 $z^{-1}$ 串联构成的支路：第一个延时环节的输出定义为 $e_1(n)$，第二个延时环节的输出定义为 $e_2(n)$。$e_1(n)$ 经增益 $\frac{5}{6}$ 反馈至加法器，$e_2(n)$ 经增益 $-\frac{1}{6}$ 反馈至加法器；三路反馈及前向支路均在该加法器处相加。

(1) 求系统函数 $H(z)$，并画出零极图，然后判断系统稳定性；

(2) 求系统单位脉冲响应 $h(n)$ 和单位阶跃响应 $g(n)$；

(3) 若已知系统初始状态为

此时输入

求系统的零输入响应、零状态响应、全响应。