习题 5.92

考虑如图所示的系统结构。设第一个加法器输出为 $v(n)$，其后分支经过一个单位延时 $z^{-1}$ 后得到 $v(n-1)$。该延时输出分别经过系数 $-k/3$ 和 $-k/4$ 后，反馈到第一个加法器和第二个加法器。第一个加法器的输入为 $x(n)$ 以及反馈信号 $-(k/3)v(n-1)$；第二个加法器的输入为 $v(n)$ 以及信号 $-(k/4)v(n-1)$，输出为 $y(n)$。

(1) 求该因果系统的系统函数 $H(z)$，画出零-极点图并表明收敛域；

(2) $k$ 为何值时，系统是稳定的？

(3) 若 $k=1$，$x(n)=\left(\frac{2}{3}\right)^n u(n)$，求输出 $y(n)$。