习题 5.100

某一 $z$ 变换为 $X(z)$ 的离散时间信号 $x[n]$ 满足以下 $5$ 个条件：

1. $x[n]$ 是实且为右边信号；
2. $X(z)$ 仅有两个极点；
3. $X(z)$ 在原点有二阶零点；
4. $X(z)$ 有一个极点在 $z=\frac{1}{2}e^{j\frac{\pi}{3}}$；
5. $X(1)=\frac{8}{3}$。

求 $X(z)$ 并给出 ROC。