习题 5.101

第 101 题题目

【芝麻研行习题 5.101】☆☆☆☆☆

为用计算机求解微分方程，我们可将连续信号离散化，从而将微分方程转化为差分方程来求解。接下来我们讨论一种较为粗糙的转化方法。若在 $t=nT$ 时刻，信号 $x(t)$ 的采样值

简记为 $x[n]$，则连续时间信号 $x(t)$ 以采样间隔 $T$ 对应到一个离散时间序列

当 $T$ 足够小时，$t$ 时刻 $x(t)$ 的导数可近似为

则

为便于表示，引进 $x[n]$ 的后向差分等号

（1）若定义 $x[n]$ 的 $k$ 阶后向差分

求因果序列 $x[n]$ 的 $k$ 阶后向差分的 $z$ 变换。

（2）利用同样的方法，用 $x[n]$ 对 $t=nT$ 时刻的 $x''(t)$ 进行近似。（用 $x[n]$ 的二阶差分为表示）

（3）写出微分方程

对应的差分方程。（用 $x[n]$ 的一阶、二阶差分来表示），并求出两系统对应的系统函数 $H_a(s)$ 和 $H_d(z)$，两系统函数有何对应关系？

（4）上述转化方法能保持系统的稳定性吗？