习题 5.102

第 102 题题目

设连续时间信号 $x(t)$ 经等间隔采样后得到离散时间序列 $x[n]$，采样间隔为 $T_s$。现要利用 $x[n]$ 恢复 $x(t)$，系统流程如下：

离散时间序列 $x[n]$ 经过“序列到冲激串的转换”得到

再经过群时延为 $0$ 的理想低通滤波器 $H_r(j\omega)$，输出为 $x(t)$。即流程为

其中，$H_r(j\omega)$ 是群时延为 $0$ 的理想低通滤波器。

（1）若要利用上述系统完全恢复 $x(t)$，那么对待恢复信号 $x(t)$ 以及采样间隔 $T_s$ 各有何要求？

（2）若

（其中 $\omega_0$ 为常数），其中

（i）请给出 $H_r(j\omega)$ 的表达式及其频响特性曲线图；

（ii）画出 $x[n]$、$x_s(t)$、$x(t)$ 的频谱图。

（3）若 $x(t)$ 带限于 $|\omega|\leq \omega_m$，$H_r(j\omega)$ 的截止频率为 $\omega_c$，在满足问题（1）的条件下：

（i）$\omega_c$ 与 $\omega_m$ 之间应满足何种关系，并给出 $H_r(j\omega)$ 的单位冲激响应 $H_r(t)$；

（ii）证明：对任何带限 $|\omega|\leq \omega_m$ 的信号 $x(t)$，均可展开为函数集

的线性组合，并给出线性组合的表达式。即令

求系数 $a_n$。