信号与系统
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第 5 章 · 原题号 5.103

习题 5.103

逐题解析
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题面已转写为 Markdown/LaTeX，解析为独立解答；未使用答案截图。

题面提要

原 PDF 第 373、374 页已核对

已知连续时间信号 x(t)x(t)、x^s(t)\hat{x}_s(t) 和离散时间序列 x^(n)\hat{x}(n)，三者的傅里叶变换分别记为

F{x(t)}=X(Ω),F{x^s(t)}=X^s(Ω)\mathcal{F}\{x(t)\}=X(\Omega),\qquad \mathcal{F}\{\hat{x}_s(t)\}=\hat{X}_s(\Omega) DTFT⁡{x^(n)}=∑n=−∞∞x^(n)e−jnω=X^(ejω)\operatorname{DTFT}\{\hat{x}(n)\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{x}(n)e^{-jn\omega}=\hat{X}(e^{j\omega})

图(1)表示系统 S1S_1：输入为连续时间信号 x(t)x(t)，输出为离散时间序列 x^(n)\hat{x}(n)。

图(2)表示系统 S2S_2：输入为离散时间序列 x^(n)\hat{x}(n)，输出为连续时间信号 x^s(t)\hat{x}_s(t)。

图(3)表示如下系统：x1(t)x_1(t) 经系统 S1S_1 得到 x^1(n)\hat{x}_1(n)；x2(t)x_2(t) 经系统 S1S_1 得到 x^2(n)\hat{x}_2(n)；二者输入序列卷积器 ∗\ast，得到 y^(n)\hat{y}(n)；y^(n)\hat{y}(n) 经系统 S2S_2 得到 y^s(t)\hat{y}_s(t)；再经低通滤波器 h(t)h(t)，输出 y(t)y(t)。

  1. 参考图(1)，若用系统 S1S_1 表示对 x(t)x(t) 以间隔 TsT_s 抽样得到 x^(n)\hat{x}(n)，即
x^(n)=x(nTs)\hat{x}(n)=x(nT_s)

则有

X^(ejω)=a∑n=−∞∞X(bω+cn)\hat{X}(e^{j\omega})=a\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(b\omega+cn)

求常数 aa、bb 和 cc 的值。提示：

∑n=−∞∞ejnω=2π∑n=−∞∞δ(ω−2πn)\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn\omega}=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi n)
  1. 参考图(2)，若用系统 S2S_2 表示用 x^(n)\hat{x}(n) 调制周期为 TsT_s 的冲激串得到 x^s(t)\hat{x}_s(t)，即
x^s(t)=∑n=−∞∞x^(n)δ(t−nTs)\hat{x}_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{x}(n)\delta(t-nT_s)

则有

X^s(Ω)=dX^(ejgΩ)\hat{X}_s(\Omega)=d\hat{X}(e^{jg\Omega})

求常数 dd 和 gg 的值。提示：本问和第1问独立，可分别求解。

  1. 参考图(3)，用系统 S1S_1、S2S_2、序列卷积器 ∗\ast 和低通滤波器
h(t)=kSa⁡(Ωct)h(t)=k\operatorname{Sa}(\Omega_c t)

实现带限连续时间信号的卷积。若带限连续时间实信号 x1(t)x_1(t) 和 x2(t)x_2(t) 的最高频率分别为 Ω1\Omega_1 和 Ω2\Omega_2，为保证

y(t)=x1(t)∗x2(t)y(t)=x_1(t)\ast x_2(t)

求 Ω1\Omega_1、Ω2\Omega_2、TsT_s、kk 和 Ωc\Omega_c 应满足的关系。提示：

y^(n)=x^1(n)∗x^2(n),DTFT⁡{y^(n)}=DTFT⁡{x^1(n)}⋅DTFT⁡{x^2(n)}\hat{y}(n)=\hat{x}_1(n)\ast\hat{x}_2(n),\qquad \operatorname{DTFT}\{\hat{y}(n)\}=\operatorname{DTFT}\{\hat{x}_1(n)\}\cdot\operatorname{DTFT}\{\hat{x}_2(n)\}

题面已根据原图转写为 Markdown/LaTeX；相关图形已重绘为可缩放矢量图。

解析

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