习题 6.1

第六章题目

【芝麻研行为题 6.1】

某因果离散 LTI 系统流图如下图所示，其中 $a$ 为未知实数。

流图的文字化定义如下：从左至右设主水平通路上的节点依次为 $v_0,v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6$，其中 $v_0$ 为输入节点，$v_6$ 为输出节点。主水平通路上的箭头均从左向右，输入为 $x(n)$，输出为 $y(n)$；$v_3$ 至 $v_4$ 的支路标注为 $z^{-1}$，$v_4$ 至 $v_5$ 的支路增益为 $-1$。此外，图中还有三条弧形支路：$v_2$ 至 $v_1$ 的箭头方向从右向左，标注为 $z^{-1}$；$v_3$ 至 $v_2$ 的箭头方向从右向左，增益标注为 $a$；$v_3$ 至 $v_5$ 的箭头方向从左向右，图中未标注增益。

(1) 从左至右依次选取延迟器的输出作为状态变量 $\lambda_1(n)$ 和 $\lambda_2(n)$，试写矩阵形式的状态方程和输出方程；

(2) 当输入为零，初始状态 $\lambda_1(0)=1$ 和 $\lambda_2(0)=0$ 时，求状态变量 $\lambda_1(n)$ 和 $\lambda_2(n)$；

(3) 若系统完全可控且完全可观，求 $a$ 的取值范围；