第四题题目

【芝麻研行习题 6.4】

已知离散时间系统流图如下图所示。

流图的文字与数学定义如下：

• 输入为 $f[n]$，经增益为 $1$ 的支路进入左侧节点。
• 左侧节点经标记为 $z^{-1}$ 的支路连接至状态节点 $\lambda_2[n]$。
• 状态节点 $\lambda_2[n]$ 经标记为 $z^{-1}$ 的支路连接至状态节点 $\lambda_1[n]$。
• 状态节点 $\lambda_2[n]$ 经增益为 $5$ 的反馈支路连接回左侧节点，支路方向指向左侧节点。
• 状态节点 $\lambda_1[n]$ 经增益为 $-6$ 的反馈支路连接回左侧节点，支路方向指向左侧节点。
• 状态节点 $\lambda_1[n]$ 经增益为 $1$ 的支路连接至输出 $y[n]$。
• 状态节点 $\lambda_2[n]$ 另经增益为 $1$ 的支路连接至输出支路，方向指向输出端。

(1) 求系统函数。

(2) 如图选择状态变量 $\lambda_1[n]$ 和 $\lambda_2[n]$，请写出系统矩阵形式的状态方程和输出方程；

(3) 求系统的状态转移矩阵 $A^n$；

(4) 若已知 $\lambda_1[0]=1$ 和 $\lambda_2[0]=2$，求当输入 $f[n]=u[n]$ 时系统的输出；

(5) 判断系统的可控性和可观性。