习题 6.5

【芝麻研行习题 6.5】

某因果离散线性时不变系统流图如下图所示，其中 $a,b$ 为常数。

流图可等价描述为：输入 $x[n]$ 经增益 $1$ 进入第一个加法节点。该节点的输出经单位延时 $z^{-1}$ 后定义为状态变量 $\lambda_1[n]$。$\lambda_1[n]$ 经增益 $a$ 后进入第二个加法节点，第二个加法节点的输出经单位延时 $z^{-1}$ 后定义为状态变量 $\lambda_2[n]$。$\lambda_1[n]$ 经增益 $1$ 反馈至第一个加法节点，$\lambda_2[n]$ 经增益 $-2$ 反馈至第一个加法节点，$\lambda_2[n]$ 经增益 $b$ 反馈至第二个加法节点。$\lambda_2[n]$ 经增益 $1$ 以及 $\lambda_1[n]$ 经增益 $1$ 均输入输出加法节点，输出为 $y[n]$。

(1) 列写系统的矩阵形式的状态方程和输出方程，给出 $A,B,C,D$ 矩阵；

(2) 已知当系统输入为零时，系统输出 $y[n]=8(-1)^n u[n]-5(-2)^n u[n]$。求系统函数 $H(z)$；

(3) 在上一问基础上，求系统的状态变量 $\lambda_1[n]$ 和 $\lambda_2[n]$；