习题 6.6

【芝麻研行习题 6.6】

若某离散时间线性系统框图如下。

框图可等价描述为：输入为 $x(n)$。第一个加法器的两个输入均取正号，其输出记为 $v_1(n)$；$v_1(n)$ 经标注为 $1/E$ 的延时环节后输出记为 $x_1(n)$，且 $x_1(n)$ 经增益 $1/2$ 的反馈支路反馈到第一个加法器。

$v_1(n)$ 经增益 $-3/2$ 的支路输入第二个加法器；$x_1(n)$ 也直接输入第二个加法器；第二个加法器的这两个输入以及由第二个延时环节输出经增益 $1/4$ 的反馈输入均取正号。第二个加法器输出记为 $v_2(n)$，其经标注为 $1/E$ 的延时环节后输出记为 $x_2(n)$。$v_2(n)$ 与 $x_2(n)$ 均以正号输入输出端的加法器，输出为 $y(n)$。

(1) 写出状态方程和输出方程；

(2) 求状态转移矩阵 $A^n$；

(3) 判断系统的稳定性。