习题 6.7

【芝麻研行习题 6.7】

已知某离散线性时不变系统的流图如图所示，系统的零输入响应为

试完成：

(1) 求流图的特征行列式，并确定流图中的常数 $a$ 和 $b$ 的值；

(2) 求系统函数 $H(z)$；

(3) 若状态变量 $\lambda_1(n)$ 和 $\lambda_2(n)$ 的选取如图所示，列出描述该系统的矩阵标准形式的状态方程和输出方程；

(4) 判断该系统的稳定性；

(5) 判断系统的是否完全可控和完全可观；

流图的等价文字描述如下：输入 $X(z)$ 经增益为 $1$ 的支路进入加法节点 $v(z)$。从该节点经一条增益为 $z^{-1}$ 的支路到达节点 $\Lambda_1(z)$，该节点对应状态变量 $\lambda_1(n)$；再经一条增益为 $z^{-1}$ 的支路到达节点 $\Lambda_2(z)$，该节点对应状态变量 $\lambda_2(n)$。$\Lambda_2(z)$ 经增益为 $1$ 的支路输出为 $Y(z)$。另有两条反馈支路：$\Lambda_1(z)$ 经增益 $a$ 反馈至加法节点 $v(z)$，$\Lambda_2(z)$ 经增益 $b$ 反馈至该加法节点 $v(z)$。