习题 6.8

【芝麻研行习题 6.8】

已知某系统流图如下，回答下列问题。

流图的输入为 $x_1(t)$、$x_2(t)$，状态变量按图选为 $\lambda_1(t)$、$\lambda_2(t)$。两个积分环节的传递函数均为 $s^{-1}$，其输出分别为 $\lambda_1(t)$、$\lambda_2(t)$。

第一个积分环节的输入端为一个加法节点：$x_1(t)$ 经增益 $1$ 输入该节点；$\lambda_1(t)$ 经反馈支路、增益 $1$ 输入该节点。

第二个积分环节的输入端为一个加法节点：$x_2(t)$ 经增益 $1$ 输入该节点；$\lambda_1(t)$ 经交叉支路、增益 $1$ 输入该节点；$\lambda_2(t)$ 经反馈支路、增益 $-3$ 输入该节点。

输出关系为：$\lambda_1(t)$ 经增益 $-\frac{1}{4}$、$\lambda_2(t)$ 经增益 $1$ 相加得到 $y_1(t)$；$\lambda_1(t)$ 经增益 $2$、$\lambda_2(t)$ 经增益 $-1$ 相加得到 $y_2(t)$。

(1) 如图选择状态变量，请写出矩阵形式的状态方程和输出方程。

(2) 求状态转移矩阵 $e^{At}$。

(3) 求传递函数 $H(s)$；

(4) 若系统初始状态为

求当激励为

时，系统的零输入响应、零状态响应、全响应。