习题 6.9

第九题题目

【芝麻研行习题 6.9】

已知某线性时不变系统流图如下所示。流图可用如下文字与信号关系完整描述：

• 输入为 $f(t)$，经增益 $4$ 后到达第一个加法节点，记该节点输出为 $v_1(t)$。
• 第一个积分器的传递因子为 $s^{-1}$，其输出为状态变量 $\lambda_2(t)$。
• 状态变量 $\lambda_2(t)$ 经增益 $1$ 后到达第二个加法节点。
• 输入节点 $f(t)$ 另有一条前向支路，经增益 $1$ 后直接到达第二个加法节点。
• 第二个积分器的传递因子为 $s^{-1}$，其输出为状态变量 $\lambda_1(t)$。
• 状态变量 $\lambda_1(t)$ 经增益 $1$ 后输出为 $y(t)$。
• 状态变量 $\lambda_2(t)$ 经增益 $-1$ 反馈至第一个加法节点。
• 状态变量 $\lambda_1(t)$ 经增益 $-k$ 反馈至第一个加法节点。
• 第二个加法节点另有一条向上的前向支路，经增益 $1$ 直接连接至输出节点，因此该支路信号也叠加到输出 $y(t)$。

(1) 按如图选取状态变量 $\lambda_1(t)$、$\lambda_2(t)$，列写系统状态方程及输出方程的矩阵形式；

(2) 若系统稳定，求 $k$ 的取值范围；

(3) 若系统完全可观且完全可控，求 $k$ 的取值范围；

(4) 若 $k=1$，系统初始状态 $\lambda_1(0^-)=0$，$\lambda_2(0^-)=1$，求输入 $f(t)=e^{-5t}u(t)$ 时，系统输出 $y(t)$。