习题 6.10

【芝麻研行习题 6.10】

某离散线性时不变系统流图如下所示。图中输入为 $x(n)$，两个延时单元的输出（状态变量）分别为 $\lambda_1(n)$、$\lambda_2(n)$，每个延时单元的传递函数均为 $z^{-1}$，输出为 $y(n)$。

流图的连接关系为：

• $x(n)$分别以单位增益输入两个延时单元的输入端；
• 上方延时单元输出为 $\lambda_1(n)$，并以增益 $0.2$反馈至上方延时单元的输入端；
• 下方延时单元输出为 $\lambda_2(n)$，并以增益 $0.5$反馈至下方延时单元的输入端；
• $\lambda_1(n)$经增益 $0.1$反馈至下方延时单元的输入端；
• $\lambda_2(n)$经增益 $a$反馈至上方延时单元的输入端；
• 输出端直接取自 $\lambda_1(n)$，即 $y(n)=\lambda_1(n)$。

(1) 列写系统的状态方程和输出方程；

(2) 求该系统的系统函数；

(3) 若系统稳定，且具有实极点，请确定 $a$ 的取值范围。