习题 6.13

【芝麻研习题 6.13】

设离散线性时不变系统的流图如下所示。已知系统在输入 $\cos(\pi n)$ 时，输出为

图中流图可等价文字描述为：输入 $x[n]$ 经增益 $\frac{3}{4}$ 后进入一个求和节点。该节点的输出依次通过两个单位延时环节 $z^{-1}$；第一个延时环节的输出标为 $\lambda_2[n]$，第二个延时环节的输出标为 $\lambda_1[n]$。第二个延时环节输出经增益 $1$ 后到达输出 $y[n]$。该求和节点还经增益 $1$ 直接前馈至输出端；$\lambda_2[n]$ 经增益 $-\sqrt{3}$ 前馈至输出端；$\lambda_1[n]$ 经增益 $\frac{1}{4}$ 反馈至该求和节点。图中该求和节点下方另有一个可辨识为 $k$ 的标注。

(1) 求系统函数 $H(z)$；

(2) 求系统单位冲激响应 $h[n]$；

(3) 粗略画出系统的幅频特性；

(4) 根据图中所选状态变量列写矩阵形式的状态方程及输出方程，并判断系统可控性与可观性；